Question

1．如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在边OA上．
（1）画出Rt△COD绕点O沿顺时针方向旋转60°后的图形；
（2）若将图中的△COD绕点O按每秒60°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在$\frac{5}{3}$或$\frac{14}{3}$秒时，边CD恰好与边AB平行．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）先作出图形，分两种情况：①两三角形在点O的同侧时，设CD与OB相交于点E，根据两直线平行，同位角相等可得∠CEO=∠B，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE，然后求出旋转角∠AOD，再根据每秒旋转60°列式计算即可得解；②两三角形在点O的异侧时，延长BO与CD相交于点E，根据两直线平行，内错角相等可得∠CEO=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE，然后求出旋转角度数，再根据每秒旋转60°列式计算即可得解．

解答 解：（1）如图所示，△C'OD'是△COD绕点O沿顺时针方向旋转60°后的图形；


（2）分两种情况：
①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，

∵AB∥CD，
∴∠CEO=∠B=40°，
∵∠C=60°，∠COD=90°，
∴∠D=90°-60°=30°，
∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，
∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°，
∵每秒旋转60°，
∴时间为100°÷60°=$\frac{5}{3}$秒；

②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，

∵AB∥CD，
∴∠CEO=∠B=40°，
∵∠C=60°，∠COD=90°，
∴∠D=90°-60°=30°，
∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，
∴旋转角为270°+10°=280°，
∵每秒旋转60°，
∴时间为280°÷60°=$\frac{14}{3}$秒；
综上所述，在第$\frac{5}{3}$或$\frac{14}{3}$秒时，边CD恰好与边AB平行．
故答案为：$\frac{5}{3}$或$\frac{14}{3}$．

点评 本题考查了旋转图形的作法，平行线的性质，旋转的性质以及三角形外角性质的运用，难点在于分情况讨论，解题时作出图形更形象直观．