Question

9．如图，我市云台山景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，现在市政府决定开发风景优美的景点D．经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向12km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上．已知AB=4$\sqrt{3}$km．
（1）现准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；
（2）求出景点B与景点C之间的距离（结果保留根号）．

Answer 1

分析 （1）过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，求DE的问题就可以转化为求∠DBE的度数或三角函数值的问题．
（2）Rt△DCE中根据三角函数就可以求出BE，CE的长，即可解决问题．

解答 解：（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，
过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，
在Rt△DAF中，∠ADF=30°，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×12=6，
∴DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=6 $\sqrt{3}$，
在Rt△ABF中BF=$\sqrt{A{B}^{2}-A{F}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴BD=DF-BF=6$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
sin∠ABF=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{6}{4\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ABF=∠DBE=60°，
在Rt△DBE中，DE=BD•sin60°=6（km），
∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是6km；

（2）由题意可知∠CDB=75°，
∴∠DCE=180°-60°-75°=45°，
∴DE=CE=6（km），BE=$\frac{1}{2}$BD=2$\sqrt{3}$
∴BC=BE+CE=2$\sqrt{3}$+6（km）
∴景点C与景点B之间的距离约为（2$\sqrt{3}$+6）km．

点评 本题主要考查解直角三角形问题，方位角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．