Question

18．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（-1，0），B（2，0），交y轴于C（0，-2），过A，C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．
①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；
②若⊙M的半径为$\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，设出二次函数交点式解析式y=a（x+1）（x-2），然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式；
（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；
（3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标；
②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标．

解答 解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x-2），
将x=0，y=-2代入，得-2=a（0+1）（0-2），
解得a=1，∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x-2），即y=x²-x-2；

（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，在Rt△POC中，
由勾股定理，得x²+2²=（x+1）²，解得，x=$\frac{3}{2}$，即OP=$\frac{3}{2}$；

（3）①∵△CHM∽△AOC，
∴∠MCH=∠CAO，
（i）如图1，当H在点C下方时，
∵∠OAC+∠OCA=90°，∠MCH=∠OAC
∴∠OCA+∠MCH=90°
∴∠OCM=90°=∠AOC
∴CM∥x轴
∴y_M=-2，
∴x²-x-2=-2，
解得x₁=0（舍去），x₂=1，
∴M（1，-2），
（ii）如图1，当H在点C上方时，
∵∠MCH=∠CAO，
∴PA=PC，由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点，
设直线CM′的解析式为y=kx-2，把P（$\frac{3}{2}$，0）的坐标代入，得$\frac{3}{2}$k-2=0，
解得k=$\frac{4}{3}$，
∴y=$\frac{4}{3}$x-2，由$\frac{4}{3}$x-2=x²-x-2，
解得x₁=0（舍去），x₂=$\frac{7}{3}$，此时y=$\frac{4}{3}$×$\frac{7}{3}$-2=$\frac{10}{9}$，
∴M′（$\frac{7}{3}$，$\frac{10}{9}$），
②在x轴上取一点D，如图（备用图），过点D作DE⊥AC于点E，使DE=$\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$，
在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{A{O}^{2}+C{O}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，
∴△AED∽△AOC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{OC}$，
解得AD=3，
∴D（2，0）或D（-4，0）．
过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图（备用图）
则直线DM的解析式为：y=-2x+4或y=-2x-8，
当-2x-8=x²-x-2时，即x²+x+6=0，方程无实数根，
当-2x+4=x²-x-2时，即x²+x-6=0，解得x₁=2，x₂=-3，
∴点M的坐标为（2，0）或（-3，10）．

点评 本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形的性质，两函数图象交点的求解方法，综合性较强，难度较大，要注意分情况讨论求解．