Question

7．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BOC=120°，AC=6，求：（1）AB的长；
（2）矩形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据OB=OC，∠ABC=90°，以及∠BOC=120°，可得出∠OBC=∠OCB=30°，进而得到AB=$\frac{1}{2}$AC=3；
（2）根据勾股定理即可得出BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，进而得出矩形ABCD的面积．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，∠ABC=90°，
又∵∠BOC=120°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3；

（2）∵AB²+BC²=AC²，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴矩形ABCD的面积=AB×BC=3×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．