Question

16．如图，正方形ABCD的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠DPE=90°，PE交AB于点E，设BP=x，BE=y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 由题意知：PE⊥DP，即：∠DPC+∠EPB=90°，∠BPE+∠PEB=180°-∠B=90°，所以∠DPC=∠BEP，又∠B=∠C，即：△EBP∽△PCD，由相似三角形的性质可得：$\frac{BE}{PC}$=$\frac{BP}{CD}$，又BP=x，PC=BC-BP=4-x，CD=4，将其代入该式求出CP的值即可．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°
∵PE⊥DP，
∴∠DPC+∠EPB=90°，∠BPE+∠PEB=180°-∠B=90°
∴∠DPC=∠BEP，又∠B=∠CBAP=∠QPC
∴△EBP∽△PCD，
∴$\frac{BE}{PC}$=$\frac{BP}{CD}$，又BP=x，PC=BC-BP=4-x，CD=4，BE=y，
即$\frac{y}{4-x}$=$\frac{x}{4}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+x（0＜x＜4），
故选A．

点评 本题考查了正方形的性质和二次函数的应用，关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出y与x之间的函数关系，求最大值时，运用到“配方法”．