Question

16．如图，在锐角θ内，有五个相邻外切的不等圆，它们都与θ角的边相切，且半径分别为r₁、r₂、r₃、r₄、r₅．若最小的半径r₁=1，最大的半径r₅=81．则sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 连接O₁M，O₂N，根据切线的性质可得O₁M⊥OA，O₂N⊥OA，根据切线长定理可得∠AOO₁=∠BOO₁=$\frac{1}{2}$θ，过点O1作O₁H⊥O₂N于H，易证四边形O₁MNH是平行四边形，∠HO₁O₂=∠AOO₁=$\frac{1}{2}$θ，根据外切两圆的性质可得O₁O₂=r₁+r₂．在Rt△O₁HO₂中运用三角函数可求出$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}$（用sin$\frac{1}{2}θ$的式子表示），同理可求出$\frac{{r}_{5}}{{r}_{4}}$、$\frac{{r}_{4}}{{r}_{3}}$、$\frac{{r}_{3}}{{r}_{2}}$，然后根据r₁=1，r₅=81可求出θ，就可解决问题．

解答 解：连接O₁M，O₂N，如图，
则有O₁M⊥OA，O₂N⊥OA，∠AOO₁=∠BOO₁=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$θ，
∴O₁M∥O₂N．
过点O₁作O₁H⊥O₂N于H，
则有O₁H∥OA，
∴四边形O₁MNH是平行四边形，∠HO₁O₂=∠AOO₁=$\frac{1}{2}$θ，
∴NH=MO₁=r₁，O₂H=r₂-r₁．
∵⊙O₁与⊙O₂外切，
∴O₁O₂=r₁+r₂．
在Rt△O₁HO₂中，
sin∠HO₁O₂=$\frac{O2H}{O1O2}$=$\frac{{r}_{2}-{r}_{1}}{{r}_{1}+{r}_{2}}$=sin$\frac{1}{2}$θ，
∴$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}$=$\frac{1+sin\frac{1}{2}θ}{1-sin\frac{1}{2}θ}$．
同理：$\frac{{r}_{3}}{{r}_{2}}$=$\frac{1+sin\frac{1}{2}θ}{1-sin\frac{1}{2}θ}$，$\frac{{r}_{4}}{{r}_{3}}$=$\frac{1+sin\frac{1}{2}θ}{1-sin\frac{1}{2}θ}$，$\frac{{r}_{5}}{{r}_{4}}$=$\frac{1+sin\frac{1}{2}θ}{1-sin\frac{1}{2}θ}$，
∴$\frac{{r}_{5}}{{r}_{1}}$=$\frac{{r}_{5}}{{r}_{4}}$•$\frac{{r}_{4}}{{r}_{3}}$•$\frac{{r}_{3}}{{r}_{2}}$•$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}$=（$\frac{1+sin\frac{1}{2}θ}{1-sin\frac{1}{2}θ}$）⁴=$\frac{81}{1}$=81，
∴$\frac{1+sin\frac{1}{2}θ}{1-sin\frac{1}{2}θ}$=3（舍负），
∴sin$\frac{1}{2}$θ=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$θ=30°，
∴θ=60°，
∴sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了两圆外切的性质、圆的切线的性质、平行四边形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，有一定的难度，求出相邻两圆半径之间的比是解决本题的关键．