Question

13．如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）若AB=4，∠P=30°，求AP的长；
（2）若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）首先根据切线的性质判定∠BAP=90°；然后在直角三角形ABP中利用三角函数的定义求得AP的长度；
（2）连接OC，OD、AC，构建全等三角形△OAD≌△OCD，然后利用全等三角形的对应角相等推知∠OAD=∠OCD=90°，即OC⊥CD．

解答 （1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，
∴AB⊥AP，
∴∠BAP=90°；
又∵AB=4，∠P=30°，
∴AP=$\frac{AB}{tan∠P}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=4$\sqrt{3}$；

（2）证明：如图，连接OC，OD、AC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACP=90°；
又∵D为AP的中点，
∴AD=CD，
在△OAD和△OCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{OD=OD}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△OAD≌△OCD（SSS），
∴∠OAD=∠OCD，
又∵AP是⊙O的切线，A是切点，
∴AB⊥AP，
∴∠OAD=90°，
∴∠OCD=90°，
即直线CD是⊙O的切线．

点评 本题综合考查了圆周角定理、切线的判定与性质．正确的作出辅助线是解题的关键．