Question

1．如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，$\frac{10}{3}$）三点，顶点为D，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E（x，y）运动时，试求三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？
（3）在y轴上确定一点M，使点M到D、B两点距离之和d=MD+MB最小，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）设出解析式，由待定系数法可得出结论；
（2）点E在抛物线上，用x去表示y，结合三角形面积公式即可得出三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，再由E点在x轴下方，得出1≤x≤5，将三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式配方，即可得出最值；
（3）找出D点关于y轴对称的对称点D′，结合三角形内两边之和大于第三边，即可确定当MD+MB最小时M点的坐标．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，则
$\left\{\begin{array}{l}{0=a+b+c}\\{0=25a+5b+c}\\{\frac{10}{3}=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-4}\\{c=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$．
故抛物线解析式为y=$\frac{2}{3}$x²-4x+$\frac{10}{3}$．
（2）过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，如图1所示．

E点坐标为（x，$\frac{2}{3}$x²-4x+$\frac{10}{3}$），F点的坐标为（x，0），
∴EF=0-（$\frac{2}{3}$x²-4x+$\frac{10}{3}$）=-$\frac{2}{3}$x²+4x-$\frac{10}{3}$．
∵点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，
∴1≤x≤5．
三角形OEB的面积S=$\frac{1}{2}$OB•EF=$\frac{1}{2}$×5×（-$\frac{2}{3}$x²+4x-$\frac{10}{3}$）=-$\frac{5}{3}$（x-3）²+$\frac{20}{3}$（1≤x≤5）．
当x=3时，S有最大值$\frac{20}{3}$．
（3）作点D关于y轴的对称点D′，连接BD′，如图2所示．

∵抛物线解析式为y=$\frac{2}{3}$x²-4x+$\frac{10}{3}$=$\frac{2}{3}$（x-3）²-$\frac{8}{3}$，
∴D点的坐标为（3，-$\frac{8}{3}$），
∴D′点的坐标为（-3，-$\frac{8}{3}$）．
由对称的特性可知，MD=MD′，
∴MB+MD=MB+MD′，
当B、M、D′三点共线时，MB+MD′最小．
设直线BD′的解析式为y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{0=5k+b}\\{-\frac{8}{3}=-3k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BD′的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{5}{3}$．
当x=0时，y=-$\frac{5}{3}$，
∴点M的坐标为（0，-$\frac{5}{3}$）．

点评 本题考查了二次函数的运用、待定系数法求二次函数解析式、点的对称以及三角形边的关系，解题的关键是：（1）能够熟练运用待定系数法求解析式；（2）利用三角形面积公式找出三角形面积的解析式，再去配方求最值；（3）先找对称点，再结合三角形内两边之和大于第三边确定点M的位置．本题属于中档题，难度不大，失分点在于（2）中部分同学会忘记求x的取值范围；（3）中不会用找对称点借助三角形边的关系确定M点的位置．