Question

4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，点D是AC上一点，BD平分∠ABC．
（1）求$\frac{AC}{BC}$的值；
（2）将线段AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°），得到线段AE，在旋转的过程中，是否存在CE∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设BC=1，AB=x，由△BDC∽△ABC得$\frac{AB-BC}{BC}=\frac{BC}{AB}$，列出方程求出x即可解决．
（2）存在．以A为圆心，AD为半径画圆，作CM∥AB，交⊙A于M、N两点，M、N、即为所的E点，由AD=AM=AN=BC，AB∥CM，得四边形ANCN是平行四边形，四边形ABCM是等腰梯形，由此即可解决旋转角的大小．

解答 （1）解：∵AB=AC，∠A=36°，∠C=∠BDC=72°，
∴AD=BD=BC，
∴△BDC∽△ABC，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{AB}$，$\frac{AC-AD}{BC}=\frac{BC}{AB}$
即$\frac{AB-BC}{BC}=\frac{BC}{AB}$，设BC=1，AB=x，得x-1=$\frac{1}{x}$解得x=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$（或$\frac{-\sqrt{5}+1}{2}$舍弃），
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
（2）存在，理由如下：
证明：如图，以A为圆心，AD为半径画圆，作CM∥AB，交⊙A于M、N两点，M、N、即为所的E点．
∵AD=AM=AN=BC，AB∥CM，
∴四边形ANCN是平行四边形，四边形ABCM是等腰梯形，
∴∠NAD=∠ACB=72°，∠MAB=∠ABC=72°，∠MAD=∠MAB-∠BAC=72°-36°=36°，
∴旋转角为36°或72°．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、以及平行四边形、等腰梯形的判定和性质，解题的关键是利用相似三角形列出比例式，转化为方程解决．