Question

7．如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E，F，连接EF．
（1）求证：PF平分∠BFD；
（2）若tan∠FBC=$\frac{3}{4}$，DF=$\sqrt{5}$，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OP、BF、PF．由OP∥CD，推出∠PFD=∠OPF，由OP=OF，推出∠OPF=∠OFP，即可推出∠OFP=∠PFD．
（2）首先证明四边形BCFE是矩形，推出EF=BC，由tan∠FBC=$\frac{3}{4}$，设FC=3x，则BC=4x，由BC=DC，可得方程4x=3x+$\sqrt{5}$，解方程即可解决问题．

解答 （1）证明：连接OP、BF、PF．
∵⊙O与AD相切于点P，
∴PO⊥AD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD⊥AD，
∴OP∥CD，
∴∠PFD=∠OPF，
∵OP=OF，
∴∠OPF=∠OFP，
∴∠OFP=∠PFD，
∴PF平分∠BFD．

（2）解：∵∠C=90°，
∴BF是⊙O的直径，
∴∠BEF=90°，
∴四边形BCFE是矩形，
∴EF=BC，
∵tan∠FBC=$\frac{3}{4}$，设FC=3x，则BC=4x，
∵BC=DC，
∴4x=3x+$\sqrt{5}$，
∴x=$\sqrt{5}$，
∴EF=BC=4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查切线的性质、正方形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线（直径、圆心与切点的连线段等），属于中考常考题型．