Question

5．如图，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD上的动点，AF与DE交于点G，CE与BF交于点H，连接GH．
（1）当E，F分别运动到AB，CD的中点时，判断四边形EHFG的形状，并说明理由；
（2）试探究：
①当AE，CF满足什么条件时，一定有GH∥CD，且GH=$\frac{1}{2}$CD？
②当AE，CF满足什么条件时，四边形EHFG是平行四边形？

Answer 1

分析 （1）由在?ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，易证得△AEG≌△FDG（AAS），可得EG=DG，同理可证得EH=CH，即可得GH是△ECD的中位线，继而推知四边形EHFG是平行四边形；
（2）①由在?ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，易证得△AEG≌△FDG（AAS），可得EG=DG，同理可证得EH=CH，即可得GH是△ECD的中位线，继而证得结论GH∥CD，且GH=$\frac{1}{2}$CD；
②通过证明两组对边分别平行，可得四边形EHFG是平行四边形．

解答 （1）证明：如图1，∵ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴DF=CF=$\frac{1}{2}$DC，AE=BE=$\frac{1}{2}$AB，
∴FC=AE，
∵FC∥AE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF∥EC，且AF=EC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠GAE=∠GFD，
∵AE=DF，
在△AEG和△FDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAE=∠GFD}\\{∠AGE=∠FGD}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△FDG（AAS），
∴EG=DG，即点G是AF的中点．
同理：点H是EC的中点．
∴GF=EH．
∴四边形EHFG是平行四边形；

（2）当AE=CF时，一定有GH∥CD，且GH=$\frac{1}{2}$CD．
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠GAE=∠GFD，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=DF，
在△AEG和△FDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAE=∠GFD}\\{∠AGE=∠FGD}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△FDG（AAS），
∴EG=DG，
同理：EH=CH，
∴GH∥DC且GH=$\frac{1}{2}$DC．

②AE=CF=$\frac{1}{2}$AB时，四边形EHFG是平行四边形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，AB=CD，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥CE．
同理可得DE∥BF，
∴四边形FGEH是平行四边形．

点评 此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．