Question

11．如图，在△ABC中内取一点，使∠PBA=∠PCA，作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：DE的垂直平分线必过BC的中点M．

Answer 1

分析 取BC，PB，PC的中点M，N，F，连接MN，MF，E，DN，DM，EM，根据三角形中位线的性质得到MF=$\frac{1}{2}$BP，MN=$\frac{1}{2}$PC，MF∥PN，MN∥PF，推出四边形NMFP是平行四边形，由平行四边形的性质得到∠PNM=∠PFM，根据直角三角形的性质得到DN=$\frac{1}{2}$PB，EF=$\frac{1}{2}$PC，等量代换得到DN=MF，MN=EF，推出△DNM≌△MFE，根据全等三角形的性质得到DM=EM，由等腰三角形的性质即可得到结论．

解答 解：取BC，PB，PC的中点M，N，F，连接MN，MF，E，DN，DM，EM，
∴MF=$\frac{1}{2}$BP，MN=$\frac{1}{2}$PC，MF∥PN，MN∥PF，
∴四边形NMFP是平行四边形，
∴∠PNM=∠PFM，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴DN=$\frac{1}{2}$PB，EF=$\frac{1}{2}$PC，
∴DN=MF，MN=EF，
∵∠DNP=2∠ABP，∠PFE=2∠ACD，
∵∠ABP=∠ACD，
∴∠DNP=∠PFE，
∴∠DNM=∠EFM，
在△DNM与△MFE中，$\left\{\begin{array}{l}{DN=FM}\\{∠DNM=∠EFM}\\{MN=EF}\end{array}\right.$，
∴△DNM≌△MFE，
∴DM=EM，
∴△DME是等腰三角形，
∴底边DE的垂直平分线（过M点）必是BC的中点M．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．