Question

13．如图，已知扇形半径是1，圆心角是直角，则扇形内切圆半径是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设OA，OB和圆分别相切于点D，C，连接MD，MC，OM，BM，易证四边形DOCM是正方形，由正方形的性质以及扇形和圆的对称性可得OM=BM，进而可得OC=$\frac{1}{2}$OB，再由等腰直角三角形的性质即可求出MC的长，即扇形内切圆半径的长．

解答 解：设OA，OB和圆分别相切于点D，C，连接MD，MC，OM，BM，
∴OD=OC，∠MDO=∠MCO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴四边形DOCM是正方形，
∴∠MOC=45°，
∵MC⊥OB，
∴△OMC是等腰直角三角形，
∵OA=OB，点M为内切圆圆心，
∴AM=BM，
∵OM=$\frac{1}{2}$AB，
∴OM=BM，
∴OC=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$，
∴MC=OC=$\frac{1}{2}$，
即扇形内切圆半径的长为$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题综合运考查了切线长定理、三角形的内心的性质以及直角三角形的性质和正方形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，题目的综合性较强，正确添加图形的辅助线是解题关键．