Question

19．如图，楼房与斜坡AB之间有一条小河，在搂房上的点D处测得斜坡的坡脚A点的俯角为45°，测得斜坡的顶端B点的俯角为30°，若观测点D距地面的高度CD=30米，斜坡的坡角为30°，试求斜坡AB的长（结果保留根号）．

Answer 1

分析 过点B作BE⊥CD于点E、作BF⊥CA于点F，设BF=x米，在RT△ABF中表示出AB、AF的长，在RT△ACD中求出AC的长，进而可得BE、DE的长，在RT△BDE中由tan∠DBE=$\frac{DE}{BE}$列出关于x的方程，解方程可得x的值即可．

解答 解：过点B作BE⊥CD于点E，作BF⊥CA于点F，
则四边形CEBF是矩形，

设BF=x米，
∵∠BAF=30°，
∴AB=2BF=2x米，AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{3}x$米，
又∵CD=30米，∠CAD=45°，
∴AC=CD=30米，
∵四边形CEBF是矩形，
∴BE=CF=CA+AF=30+$\sqrt{3}$x（米），BF=CE=x，DE=30-x（米），
在RT△BDE中，∵∠DBE=30°，
∴tan∠DBE=$\frac{DE}{BE}$，即$\frac{30-x}{30+\sqrt{3}x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：x=15-5$\sqrt{3}$，
则AB=2x=30-10$\sqrt{3}$（米），
答：斜坡AB的长为（30-10$\sqrt{3}$）米．

点评 本题考查了仰角、坡角的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．