Question

1．如图，二次函数y=-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4的图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿线段AC，AB运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）当点Q运动到B点时，点P停止运动，这时x轴上是否存在点D，使得以A，P，D为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出D点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上F点处，请断定此四边形APFQ的形状，并求出此时点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出二次函数y=-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4，由y=0时，解方程-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4=0，得出x的值即可得出A、B的横坐标；由x=0时，得出y=4，即可得出C的坐标；
（2）存在；先由勾股定理求出AC，当点Q运动到B点时，AP=AQ=AB=4；分三种情况：
①当AD=AP=4时，D与B重合，容易得出点D坐标；
②当 DP=AP=4时，作PE⊥AD于E，则AD=2AE，PE∥OC，得出△PAE∽△CAO，得出比例式$\frac{AE}{OA}=\frac{AP}{AC}$，求出AE，得出AD、OD，即可得出点D的坐标；
③当DA=DP时，D在AP的垂直平分线上，得出AF=$\frac{1}{2}$AP=2，证明△AFD∽△AOC，得出比例式$\frac{AD}{AC}=\frac{AF}{OA}$，求出AD，得出OD，即可得出点D的坐标；
（3）根据题意得出AP=AQ=FG=PF=t，即可证出四边形APFQ是菱形；作PN⊥x轴于N，则PN∥OC，由平行线得出比例式$\frac{PN}{OC}=\frac{AP}{AC，}$，得出PN=$\frac{4}{5}$t，同理：PM=3-$\frac{3}{5}$t，得出MF=$\frac{8}{5}$t-3，把点F的坐标代入抛物线解析式得出方程，解方程求出t的值，再求出点F的坐标即可．

解答 解：（1）对于二次函数y=-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4，当y=0时，-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4=0，
解得：x=-3，或x=1，
∴A（-3，0），B（1，0）；
当x=0时，y=4，
∴C（0，4）；
（2）存在；
∵OA=3，OC=4，OB=1，
∴AC=$\sqrt{3+{4}^{2}}$=5，AB=3+1=4；
当点Q运动到B点时，AP=AQ=AB=4；
①当AD=AP=4时，D与B重合，
∴点D坐标为：（1，0）；
②当 DP=AP=4时，作PE⊥AD于E，如图1所示：
则AD=2AE，PE∥OC，
∴△PAE∽△CAO，
∴$\frac{AE}{OA}=\frac{AP}{AC}$，即$\frac{AE}{3}=\frac{4}{5}$，
∴AE=$\frac{12}{5}$，
∴AD=$\frac{24}{5}$，
∴OD=$\frac{24}{5}$-3=$\frac{9}{5}$，
∴点D的坐标为：（$\frac{9}{5}$，0）；
③当DA=DP时，D在AP的垂直平分线上，如图2所示：
∴AF=$\frac{1}{2}$AP=2，
∵∠AFD=∠AOC=90°，∠FAD=∠OAC，
∴△AFD∽△AOC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AF}{OA}$，即$\frac{AD}{5}=\frac{2}{3}$，
∴AD=$\frac{10}{3}$，
∴OD=$\frac{10}{3}$-3=$\frac{1}{3}$，
∴点D的坐标为：（$\frac{1}{3}$，0）；
综上所述：点D的坐标为：（1，0），或（$\frac{9}{5}$，0），或（$\frac{1}{3}$，0）；
（3）四边形APFQ是菱形；理由如下：如图3所示：
根据题意得：PF=PA，FQ=AQ，∠APQ=∠FPQ，
又∵AP=AQ=t，
∴AP=AQ=FG=PF=t，
∴四边形APFQ是菱形；
∴PF∥AQ，作PN⊥x轴于N，则PN∥OC，
∴$\frac{PN}{OC}=\frac{AP}{AC}$，即$\frac{PN}{4}=\frac{t}{5}$，
∴PN=$\frac{4}{5}$t，同理可得：PM=3-$\frac{3}{5}$t，
∴MF=t-（3-$\frac{3}{5}$t）=$\frac{8}{5}$t-3，
∴F（$\frac{8}{5}$t-3，$\frac{4}{5}$t），
代入抛物线解析式得：-$\frac{4}{3}$（（$\frac{8}{5}$t-3）²-$\frac{8}{3}$（$\frac{8}{5}$t-3）+4=$\frac{4}{5}$t，
解得：t=$\frac{145}{64}$，
∴$\frac{8}{5}$t-3=$\frac{5}{8}$，$\frac{4}{5}$t=$\frac{29}{16}$，
∴点F的坐标为：（$\frac{5}{8}$，$\frac{29}{16}$）．

点评 本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的运用、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、菱形的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线进行分类讨论和证明三角形相似才能得出结果．