Question

9．在△ABC中，AB=AC，∠BCD=∠BAC，点D与点A在BC的两侧，∠BCD的边CD所在的直线与边AB坐在的直线相交于点P，PE⊥AC，垂足为E．
若∠BAC=90°时，如图（1）易证2CE=AP+AB；
若∠BAC≠90°时，其他条件不变，如图（2）、图（3），则在图（2）、图（3）两种情况下线段CE、AP、AB又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并对其中一种情况给予证明．

Answer 1

分析 根据等腰三角形三线合一的性质进行分析得出线段CE、AP、AB的关系即可．

解答 解：如图1：过点P作PF∥BC，交AC的延长线于点F，

∴∠APF=∠ABC=∠ACB=∠F，
∴AF=AP，
∵∠BCF=∠A+∠ABC，
∴∠PCF+∠BCD=∠A+∠ABC，
∵∠BCD=∠A，
∴∠PCF=∠ABC，
∴∠PCF=∠F，
∴PC=PF，
∵PE⊥CF，
∴CE=EF（三线合一），
∴2CE=CF=AF-AC=AP-AB；
如图2，过点P作PF∥BC，交CA的延长线于点F，

∴∠APF=∠B=∠ACB=∠F，
∴AF=AP，
∵∠BCD=∠BPC+∠B，
∠BAC=∠BPC+∠PCF，
∠BCD=∠BAC，
∴∠B=∠PCF，
∴∠PCF=∠F，
∴PC=PF，
∵PE⊥CF，
∴CE=EF（三线合一），
∴2CE=CF=AF+AC=AP+AB．

点评 此题考查全等三角形问题，关键是根据等腰三角形的三线合一的性质解答．