Question

【题目】如图，在中，，，在中，，，点在线段上，点在线段的延长线上．将绕点顺时针方向旋转60°得到（点的对应点为，点的对应点为点），连接、，过点作，垂足为，直线交线段于，则的长为__________．

Answer 1

【答案】7+ .

【解析】

先画出图形，过点B作E′C的垂线交其延长线于F点，过点D′作CM的垂线交CM于H点，过A点作CM的垂线交其延长线于G点．在Rt△BFC求出BF，再在△BE′F用“面积法”求CN，证明△ACG≌△BCN，△CD′H≌△CE′N，将有关线段转化，可求CM，从而可求MN．

解：如图，若将△DCE绕点C顺时针旋转60°得到△D′CE′，

过点B作E′C的垂线交其延长线于F点，过点D′作CM的垂线交CM于H点，过A点作CM的垂线交其延长线于G点．
∵∠ACD′=60°，∠ACB=∠D′CE′=90°，
∴∠BCE′=360°-∠ACD′-∠ACB-∠D′CE′=120°．
∴∠BCF=180°-∠BCE′=60°，

∴∠FBC=30°，

∴FC=5，
∴BF= ，

∴S△BCE′=BFCE′= ，

∵∠ACG+∠BCN=90°，∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ACG=∠CBN，
又∵AC=BC，
∴Rt△ACG≌Rt△CBN，
∴AG=CN，CG=BN．
同理△CD′H≌△E′CN，D′H=CN，CH=NE′．
∴AG=D′H，
在△AMG和△D′MH中，

，

∴△AMG≌△D′MH，
∴HM=MG，
∴M为GH中点，CM= ，

又∵BF= ，∠BCF=60°，
∴CF=5，FE′=CF+CE′=11，
∴BE′=，

∴CM=BE′=7．
又∵S△BCE′=CNBE′，
∴CN=2S△BCE′÷BE′=

∴MN=CM+CN=7+ .

故答案是：7+ .