Question

15．如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB．求证：
（1）△ADC≌△ABE；
（2）Rt△ADF≌Rt△ABF．

Answer 1

分析 （1）由于Rt△ABC≌Rt△ADE，根据全等三角形的性质得AC=AE，AB=AD，∠BAC=∠DAE，则∠DAC=∠BAE，然后利用“SAS”可判断△ADC≌△ABE（SAS）；
（2）根据“HL”可判断Rt△ADF≌Rt△ABF．

解答 证明：（1）∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC=AE，AB=AD，∠BAC=∠DAE，
∵∠BAC-∠BAD=∠DAE-∠BAD，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ADC和△ABE中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABE（SAS）；
（2）如图，
在Rt△ADF和Rt△ABF中
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADF≌Rt△ABF（HL）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．