Question

3．如图，在Rt△ABO中，顶点A是双曲线y=$\frac{k}{x}$与直线y=-x+（k+1）在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S_△ABO=1.5．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．

Answer 1

分析 （1）由S_△ABO=1.5，根据反比例函数的系数k几何意义，即可求出k的值；
（2）将两函数解析式组成方程组，求出方程组的解即为交点坐标；进一步求出直线AC和x轴的交点坐标，结合A、C的坐标，利用三角形的面积公式即可求出S_△AOC．

解答 解：（1）∵S_△ABO=1.5，
∴|k|=2×1.5=3，
由于反比例函数的图象位于二、四象限，
∴k=-3，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{3}{x}$．
一次函数解析式为y=-x-3+1，
即y=-x-2．

（2）将反比例函数解析式为y=-$\frac{3}{x}$和一次函数解析式为y=-x-2，组成方程组得，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{x}}\\{y=-x-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=1}\end{array}\right.$．
所以直线和双曲线的交点坐标为A（1，-3），C（-3，1）．
如图，

令y=0，则有-x-2=0，
解得x=-2，故D点坐标为（-2，0）．
∵D（-2，0），C（-3，1），
∴S_△AOC=S_△DOC+S_△AOD
=$\frac{1}{2}$×2×1+$\frac{1}{2}$×2×3
=1+3=4．

点评 此题考查了反比例函数的几何意义、反比例函数和一次函数的交点坐标及和图象有关的三角形的面积，求出交点坐标是解题关键．