题目内容
已知：等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，点M在直线BC上，以点M为旋转中心，将线段MD顺时针旋转60°至MD′，连接ED′．
（1）如图1，当点M在点B左侧时，线段ED′与MF的数量关系是 ；
（2）如图2，当点M在BC边上时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由；
（3）当点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，直接判断（1）中的结论是否依然成立？不必给出证明或说明理由．
（1）如图1，当点M在点B左侧时，线段ED′与MF的数量关系是
（2）如图2，当点M在BC边上时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由；
（3）当点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，直接判断（1）中的结论是否依然成立？不必给出证明或说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质
专题：
分析：（1）可通过全等三角形来证明ED′与MF相等，如果连接DE，DF，那么DE就是三角形ABC的中位线，可得出三角形ADE，BDF，DFE，FEC都是等边三角形，那么∠DEF=∠DFM=60°，DE=DF，而∠MDN和∠FDE都是60°加上一个∠NDF，因此三角形MDF和EDN就全等了（ASA）．由此可得出EN=MF，∠DD′E=∠DMB，已知了BD=DF，DM=DD′，因此三角形DBM≌三角形DFD′，因此∠DFD′=∠DBM=120°，因此∠DFD′是三角形DFE的外角因此D′，F，E在同一直线上．
（2）（3）证法同（1）都要证明三角形MDF和EDN全等，证明过程中都要作出三角形的三条中位线，然后根据三条中位线分成的小等边三角形的边和角相等来得出两三角形全等的条件，因此结论仍然成立．
（2）（3）证法同（1）都要证明三角形MDF和EDN全等，证明过程中都要作出三角形的三条中位线，然后根据三条中位线分成的小等边三角形的边和角相等来得出两三角形全等的条件，因此结论仍然成立．
解答：解：（1）ED'=MF；
（2）ED'与MF的相等关系依然成立
证明：连接DE、DF、DD'，
∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC，DE=
BC，DF∥AC，DF=
AC，
∴四边形DFCE为平行四边形，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠C=60°，
∴DE=DF，∠EDF=∠C=60°，
∵MD=MD'，∠DMD'=60°，
∴△DMD'是等边三角形，
∴∠MDD'=60°，MD=DD'，
∴∠MDD'=∠EDF，
∵∠MDF=∠MDD'-∠FDD'∠EDD'=∠EDF-∠FDD'，
∴∠MDF=∠EDD'，
∴△DD'E≌△DMF（SAS），
∴ED'=MF．
（3）ED'与MF的相等关系依然成立．
（2）ED'与MF的相等关系依然成立
证明：连接DE、DF、DD'，
∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC，DE=
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∴四边形DFCE为平行四边形，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠C=60°，
∴DE=DF，∠EDF=∠C=60°，
∵MD=MD'，∠DMD'=60°，
∴△DMD'是等边三角形，
∴∠MDD'=60°，MD=DD'，
∴∠MDD'=∠EDF，
∵∠MDF=∠MDD'-∠FDD'∠EDD'=∠EDF-∠FDD'，
∴∠MDF=∠EDD'，
∴△DD'E≌△DMF（SAS），
∴ED'=MF．
（3）ED'与MF的相等关系依然成立．
点评：本题主要考查了等边三角形的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识点，根据等边三角形的性质以及三角形中位线定理得出全等三角形的条件是解题的关键．
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