Question

20．如图，?ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（-1，0），B（0，-3），顶点C、D在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，边AD交y轴于点E，且?ABCD的面积是△ABE面积的8倍，则k=36．

Answer 1

分析 分别过C、D作x轴的垂线，垂足为F、G，过C点作CH⊥DG，垂足为H，根据CD∥AB，CD=AB可证△CDH≌△ABO，则CH=AO=1，DH=OB=3，由此设C（m+1，n），D（m，n+3），C、D两点在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，则（m+1）n=m（n+3），解得n=3m，设直线AD解析式为y=ax+b，将A、D两点坐标代入求解析式，确定E点坐标，求S_△ABE，根据S_{四边形ABCD}=8S_△ABE，列方程求m、n的值，根据k=（m+1）n求解．

解答 解：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，DG交BC于M点，过C点作CH⊥DG，垂足为H，
∵ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵BO∥DG，
∴∠OBC=∠GDE，
∴∠HDC=∠ABO，
∴△CDH≌△ABO（AAS），
∴CH=AO=1，DH=OB=3，设C（m+1，n），D（m，n+3），
则（m+1）n=m（n+3）=k，
解得n=3m，则D的坐标是（m，3m+3），
设直线AD解析式为y=ax+b，将A、D两点坐标代入得
$\left\{\begin{array}{l}{-a+b=0①}\\{ma+b=3m+3②}\end{array}\right.$，
由①得：a=b，代入②得：mb+b=3m+3，
即b（m+1）=3（m+1），解得b=3，
则$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴y=3x+3，E（0，3），BE=6，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$×BE×AO=3，
∵S_{四边形ABCD}=8S_△ABE=24，
∴S_{四边形ABCD}=2S_△ABE+S_{四边形BEDM}=24，
即6+6×m=24，
解得m=3，
∴n=3m=9，
∴k=（m+1）n=4×9=36．
故答案为：36．

点评 本题考查了反比例函数的综合运用．关键是通过作辅助线，将图形分割，寻找全等三角形，利用边的关系设双曲线上点的坐标，根据面积关系，列方程求解．