Question

5．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，延长BC至D使CD=BC，连接AD．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）若E为线段CD的中点，且AD=4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP．
①求EP+$\frac{1}{2}$AP的最小值；
②求2BP+AP的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据线段的垂直平分线的性质定理，可得AD=AB，只要证明∠B=60°即可解决问题．
（2）①如图1中，作PF⊥AB于F，EF′⊥AB于F′，交AC于P′．由∠PAF=30°，∠PFA=90°，推出PF=$\frac{1}{2}$PA，推出PE+$\frac{1}{2}$PA=PE+PF，所以当E、P、F共线时，即EF′⊥AB时，PE+PF最短，最小值为线段EF′，求出EF′即可解决问题．
②如图2中，作PF⊥AD于F，EF′⊥AD于F′，交AC于P′．由∠PAF=30°，∠PFA=90°，推出PF=$\frac{1}{2}$PA，推出2BP+AP=2（PB+$\frac{1}{2}$PA）=2（PB+PF），所以当B、P、F共线时，即BF′⊥AD时，PB+PF最短，最小值为线段BF′，求出BF′即可解决问题．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°
∴AC⊥BD，∠B=60°
∵DC=CB，
∴AD=AB，∵∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形．

（2）①如图1中，作PF⊥AB于F，EF′⊥AB于F′，交AC于P′．

∵∠PAF=30°，∠PFA=90°，
∴PF=$\frac{1}{2}$PA，
∴PE+$\frac{1}{2}$PA=PE+PF，
∴当E、P、F共线时，即EF′⊥AB时，PE+PF最短，最小值为线段EF′，
在Rt△EF′B中，∵∠B=60°，EB=3，
∴EF′=EB•sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴EP+$\frac{1}{2}$AP的最小值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

②如图2中，作PF⊥AD于F，EF′⊥AD于F′，交AC于P′．

∵∠PAF=30°，∠PFA=90°，
∴PF=$\frac{1}{2}$PA，
∴2BP+AP=2（PB+$\frac{1}{2}$PA）=2（PB+PF），
∴当B、P、F共线时，即BF′⊥AD时，PB+PF最短，最小值为线段BF′，
在Rt△DF′B中，∵∠D=60°，DB=4，
∴EF′=EB•sin60°=2$\sqrt{3}$，
∴2BP+AP的最小值为4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最短问题，属于中考压轴题．