Question

如图，已知△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点D为AB边上一点．

（1）求证：△ACE≌△BCD；

（2）求证：△ADE是直角三角形；

（3）已知△ADE的面积为30cm²，DE=13cm，求AB的长．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．

【分析】（1）由于△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，那么∠B=∠BAC=45°，AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=90°，结合等式性质易证∠1=∠2，那么利用SAS可证△ACE≌△BCD；

（2）由（1）证得△ACE≌△BCD，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，于是可得∠CAE=∠B=45°，易求∠EAD=90°；求得结论；

（3）由△ADE的面积为30，利用面积公式得到AD•AE=60，解直角三角形得到AD+AE=17，根据BD=AE，求得AB=AD+BD=AD+AE=17cm．

【解答】解：（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，

∴∠B=∠BAC=45°，

AC=BC，

CE=CD，

∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，

即∠1=∠2，

在△ACE和△BCD中，

∴△ACE≌△BCD；

（2）由（1）证得△ACE≌△BCD，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，

∴∠CAE=∠B=45°，

∴∠EAD=∠EAC+∠CAB=45°+45°=90°，

∴△ADE是直角三角形；

（3）解：由题意得：AD•AE=30，即AD•AE=60，

在R_t△ADE中，由勾股定理得：AD²+AE²=DE²=13²=169，

∴（AD+AE）²=AD²+AE²+2AD•AE=289，

∴AD+AE=17，

由（1）得：△ACE≌△BCD，

∴BD=AE，

∴AB=AD+BD=AD+AE=17cm．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是证明△ACE≌△BCD．