Question

9．如图所示，一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾角α为60°．
（1）求AO与BO的长；
（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行，如图2所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD=2：3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米．

Answer 1

分析 （1）先根据OB=$\frac{1}{2}$AB，求出OB，再根据勾股定理求出OA即可．
（2）设AC=2x，BD=3x，在Rt△COD中，理由勾股定理构建方程即可解决问题．

解答 解：（1）在Rt△AOB中，∵AB=4，∠ABO=60°，∠AOB=90°，
∴∠BAO=30°，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

（2）∵AC：BD=2：3，
∴可以假设AC=2x，BD=3x，
在Rt△COD中，∵∠COD=90°，CO=2$\sqrt{3}$-2x，OD=2+3x，CD=4，
∴（2$\sqrt{3}$-2x）²+（2+3x）²=4²，
解得x=$\frac{8\sqrt{3}-12}{13}$或（0舍弃）．
∴梯子顶端A沿NO下滑$\frac{16\sqrt{3}-24}{13}$米．

点评 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键，属于中考常考题型．