题目内容
15．已知，如图，∠AOB=90°．（1）操作发现：在同一平面内，以点O为顶点，OA为始边画出∠AOC，使∠AOC=60°；观察图形后请直接写出∠COB的度数为30°或150°；
（2）探究延伸：在（1）的条件下画出∠COB的平分线OD，画出∠AOC的平分线OE，观察图形后请直接写出∠DOE的度数为45°；
（3）探究拓展：在（2）的条件下，若将“∠AOC=60°”改为“∠AOC=2a（0°＜a＜45°）”其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由．
分析 （1）分两种情况：当∠AOC在∠AOB内部时，∠BOC=∠AOB-∠AOC；当∠AOC在∠AOB外部时，∠BOC=∠AOB+∠AOC，计算可得；
（2）在前两种情况中，分别计算出∠COD、∠COE的度数，内部时∠COD+∠COE、外部时∠COD-∠COE可得；
（3）计算方法同（2）一致．
解答 解：（1）有两种情况：分∠AOC在∠AOB的内部和外部．
①当∠AOC在∠AOB内部时，∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-60°=30°；
②当∠AOC在∠AOB外部时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+60°=150°；
（2）如图：
①当∠AOC在∠AOB内部时，∵∠AOC=30°，OE平分∠AOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
由（1）知∠BOC=30°，OD平分∠BOC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=15°，
∴∠DOE=∠COE+∠COD=45°；
②当∠AOC在∠AOB外部时，∵∠AOC=30°，OE平分∠AOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
由（1）知，∠BOC=150°，OD平分∠BOC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=75°，
∠DOE=∠COD-∠COE=45°；
综上，∠DOE度数为45°．
（3）能，
①当OC在∠AOB内部时，
∵∠AOB=90°，∠AOC=2α，
∴∠BOC=90°-2α．
∵OD，OE分别平分∠BOC，∠AOC，
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°-α，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=α，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=45°；
②当OC在∠AOB外部时，
∵∠AOB=90°，∠AOC=2α，
∴∠BOC=90°+2α．
∵OD，OE分别平分∠BOC，∠AOC，
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°+α，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=α，
∴∠DOE=∠DOC-∠COE=45°．
综上，∠DOE的度数为45°．
故答案为：（1）30°或150°，（2）45°．
点评 本题主要考查利用角平分线进行角的计算，这里分OC在角的内部和外部两种情况计算是前提，属中档题．
阅读快车系列答案| A． | 正数 | B． | 0 | C． | 负数 | D． | 无法确定 |
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，一点P由B向C以2cm/s的速度移动，同时又有一点Q由C向D以1cm/s的速度移动，设移动时间为t，当0＜t＜2时，求△PCQ的面积S（cm2）与时间t（s）之间的函数关系式，并指出是什么函数．| A． | $\sqrt{3^2}=±3$ | B． | $\sqrt{{{17}^2}-{8^2}}=9$ | C． | ${（\sqrt{-7}）^2}=7$ | D． | $\sqrt{{{（-7）}^2}}=7$ |