Question

15．在△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．
（1）如图1，当点D在线段BC上移动；
①求证：△ABE≌△ACD；
②求证：△BEF是等腰三角形；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上移动，请在图中画出相应的图形．

Answer 1

分析 （1）①证明∠BAE=∠DAC，根据全等三角形的判定定理证明；
②根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠ACD，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACD，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理证明；
（2）根据题意画出图形即可．

解答 （1）①证明：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE-∠DAB=∠BAC-∠DAB，即∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD；
②证明：∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACD，
∵EF∥BC，
∴∠ABC=∠EFB，
∴∠ABE=∠EFB，
∴EB=EF，即△BEF是等腰三角形；
（2）如图所示2即为所求．

点评 本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等腰三角形的性质定理是解题的关键．