题目内容

10．阅读下列材料，并解答相应的问题：

（1）下面是两个旋转对称图形，其中，甲图是由正三角形ACE绕其对称中心旋转180°后得到的△DFB与△ACE构成的；乙图是四个全等的正三角形拼成的（拼接时不重叠且没有空隙）．点O分别是它们的旋转对称中心．其旋转角α的最小值分别为：甲：60°，乙：120°；

（2）下面的网格都是由边长为1的正三角形组成的，请以给出的图案为基本图形（其顶点均在格点上），在图1，图2中再添加若干个基本图形，使添加的图形与基本图形组成一个新图案，要求：
①图1中组成的新图案是中心对称图形；
②图2中组成的新图案只是旋转对称图形，不是中心对称图形；
③两图中新图案的顶点都在格点上，并且给添加的基本图案涂上阴影（建议用一组平行线段表示阴影）．

分析 （1）利用旋转对称图形的性质分别得出符合题意的答案；
（2）①利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案；
②利用旋转对称图形性质得出符合题意的答案．

解答 解：（1）如图甲，连接AO，BO，
则∠AOB=$\frac{360°}{6}$=60°，
故旋转角α的最小值是60°，
如图乙，连接AO，CO，
则∠AOC=$\frac{360°}{3}$=120°，
故旋转角α的最小值是120°，
故答案为：60°，120°；

（2）①如图1所示；
②如图2所示；
③如图1，图2所示．

点评 此题主要考查了利用旋转设计图案以及中心对称图形的性质，正确把握旋转对称图形的定义是解题关键．

练习册系列答案
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6．平行四边形ABCD中，若∠B=2∠A，则∠C的度数为（　　）
A．120°B．60°C．30°D．15°
1．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，点 O为射线AC上动点，动圆⊙O始终与射线AB相切，研究⊙O与菱形ABCD各边交点总个数的情况，以下论述正确的是（　　）
①最少有1个交点；
②最多有6个交点；
③共有6种不同的情况；
④有2个交点时，$0＜AO＜\sqrt{3}$；
⑤有3个交点时，$AO=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
A．①②⑤B．②C．①③④D．②④⑤
18．一位农民带上若干千克自产的土豆进城出售．为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出的土豆千克数x与他手中持有的钱数y（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：
（1）农民自带的零钱是多少？
（2）求降价前农民手中的钱数y与售出的土豆千克数x的函数关系式；
（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，试问他一共带了多少千克土豆？
5．如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=$\frac{1}{2}$AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．

请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：
（1）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=15cm．
（2）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=3：1．
（3）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=DC，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，若BP=2，求BQ的长．
15．正方形的面积是4cm2，那么对角线是（　　）cm．
A．2cmB．4cmC．2$\sqrt{2}$ cmD．$\sqrt{2}$ cm
2．如图，直角△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是直线AB上的一动点．设∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）如图1，点P在线段AB上（不与A、B重合）．
①若∠α=50°，则∠1+∠2=140°；
②写出∠1、∠2与∠a之间满足的数量关系式，并说明理由．
（2）如图2，若点P运动到边AB的延长线上时，直接写出∠1、∠2与∠a之间所满足的数量关系式．
19．如图CO是等腰△ABC底边AB上的高，AB=6，点P从点C出后沿CO以ka个单位/秒的速度到达点G，再沿GA以a个单位/秒的速度到达点A．
（1）当CO=3$\sqrt{3}$，CG=2$\sqrt{3}$时，点P的运动距离=4$\sqrt{3}$．
（2）当CO=3$\sqrt{3}$且满足k=2，a=1时，求运动时间t的最小值．
（3）当CO=6，其余条件不变时，取K=$\sqrt{5}$时，存在最短运动时间，此时OG的长=$\frac{3}{2}$．
20．小强同学对本校学生完成家庭作业的时间进行了随机抽样调查，并绘成如下不完整的三个统计图表．
各组频数、频率统计表
 组别 时间（小时） 频数（人） 频率
 A 0≤x≤0.5 20 0.2
 B 0.5＜x≤115  a
 C 1＜x≤1.5350.35 
 D x＞1.5 30 0.3
 合计 b 1.0
（1）a=0.15，b=100，∠α=126，并将条形统计图补充完整．
（2）若该校有学生3200人，估计完成家庭作业时间超过1小时的人数．
（3）根据以上信息，请您给校长提一条合理的建议．

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