Question

18．已知如图，在△ABC中，∠B=2∠C．
（1）求作：①△ABC的角平分线AD，②线段CD的垂直平分线MN，MN分别交AC、BC于点M、N；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：BD=CM．

Answer 1

分析 （1）利用基本作图（作已知角的平分线和线段的垂直平分线）作AD平分∠BAC，作MN垂直平分CD；
（2）先利用线段垂直平分线的性质得到MD=MC，再根据等腰三角形的判定得到∠MDC=∠C，接着证明∠B=∠AMD，然后证明△ABD≌△AMD，从而得到BD=MD，所以BD=CM．

解答 （1）解：如图，AD和MN为所作；

（2）证明：∵MN垂直平分CD，
∴MD=MC，
∴∠MDC=∠C，
∴∠AMD=∠MDC+∠C=2∠C，
而∠B=2∠C，
∴∠B=∠AMD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠MAD，
在△ABD和△AMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠AMD}\\{∠BAD=∠MAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AMD，
∴BD=MD，
∴BD=CM．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．