Question

8．已知x=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，求$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+{x}^{2}+1}$．

Answer 1

分析 先运用分母有理化求出x+$\frac{1}{x}$的值，再把所求的分式根据分式的基本性质进行变形，代入计算即可．

解答 解：∵x=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，
∴x+$\frac{1}{x}$=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$+$\frac{3}{4-\sqrt{7}}$
=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$+$\frac{3（4+\sqrt{7}）}{{4}^{2}-7}$
=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$+$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$
=$\frac{8}{3}$
原式=$\frac{1}{{x}^{2}+1+\frac{1}{{x}^{2}}}$
=$\frac{1}{{（x+\frac{1}{x}）}^{2}-2+1}$
=$\frac{1}{{（\frac{8}{3}）}^{2}-1}$
=$\frac{9}{55}$

点评 本题考查的是二次根式的化简求值，正确进行分母有理化和分式的变形是解题的关键．