Question

19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交边BC于点E，交边AC的延长线于点F，并且BD=CF．求证：∠CAB=2∠B．

Answer 1

分析 连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，BD=AD，通过△BDE≌△CFE，得到∠B=∠F，BE=EF，等量代换得到EF=AE，证得∠EAC=∠F，于是得到结论．

解答 解：连接AE，∵DF垂直平分AB，
∴BE=AE，BD=AD，
∴∠EAD=∠B，
在△BDE与△CEF中$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠ECF=90°}\\{∠BED=∠FEC}\\{BD=CF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CFE，
∴∠B=∠F，BE=EF，
∴EF=AE，
∴∠EAC=∠F，
∴∠EAC=∠B，
∴∠CAB=2∠B．

点评 本题考查了线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，连接AE，构造全等三角形是解题的关键．