Question

如图，将一个小球从斜坡OA的O点处抛出，落在斜坡的A点处．小球的抛出路线是抛物线的一段，它的对称轴l分别与OA，x轴相交于点B，C，顶点P的横坐标是4．斜坡OA的坡角为α，tanα=

1

2

，OA=

7 5

2

．
（1）求点A的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）N，N′是抛物线上两点，它们关于对称轴l对称，若过P，N，N′三点的⊙M与射线OA相切，求⊙M的半径．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先作AD⊥x轴于D，可得出AD=m，则OD=2m，进而利用勾股定理得出m的值，即可得出A点坐标；
（2）利用顶点式得出抛物线的解析式是y=a（x-4）²+b，进而将O点，A点代入求出抛物线解析式即可；
（3）根据题意得出M点位置，进而利用△COB∽△EMB，求出⊙M的半径．

解答：解：（1）作AD⊥x轴于D．
∵tanα=

1

2

，
∴可设AD=m，则OD=2m．          
根据勾股定理，DO²+AD²=AO²，
得m2+(2m)2=(

7 5

2

)2．
解，得m=±

7

2

，负值舍去，m=

7

2

．
∴点A的坐标是（7，

7

2

）；
         
（2）设抛物线的解析式是y=a（x-4）²+b．
将（0，0）和（7，

7

2

）代入上式，得：

0=a(0-4)2+b 7 2 =a(7-4)2+b

．           
解得：

a=- 1 2 b=8

，
∴抛物线的解析式是：
y=-

1

2

(x-4)2+8，
=-

1

2

x2+4x．

（3）∵N、N′关于对称轴l对称，
∴圆心M在对称轴l上，
作ME⊥AO于E，
∵⊙M与射线AO相切，
∴MP=ME，
设⊙M半径为r，
则MP=ME=r，
∵CO=4，tanα=

1

2

，
∴BC=COtanα=4×

1

2

=2，
∴BO=

42+22

=2

5

，
∵PC=8，BC=2，
∴MB=PC-BC-MP=8-2-r=6-r，
∵△COB∽△EMB，
∴

ME

CO

=

MB

BO

，
∴

r

4

=

6-r

2 5

． 
∴r=12

5

-24．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式和锐角三角三角函数关系应用等知识，利用数形结合以及切线的性质得出M点位置是解题关键．