题目内容
已知二次函数图象顶点为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数交于A，B两点，其中A点（3，4），B点在y轴上．（1）求此二次函数的解析式；
（2）P为线段AB上一动点（不与A，B重合），过点P作y轴的平行线与二次函数交于点E．设线段PE长为h，点P横坐标为x，求h与x之间的函数关系式；
（3）D为线段AB与二次函数对称轴的交点，在AB上是否存在一点P，使四边形DCEP为平行四边形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）首先将A（3，4）代入y=x+m得出m的值，即可得出B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）表示出E，P点坐标，进而利用线段PE求法得出即可；
（3）首先得出D点坐标，进而利用平行四边形的性质得出P点横坐标，即可得出答案．
（2）表示出E，P点坐标，进而利用线段PE求法得出即可；
（3）首先得出D点坐标，进而利用平行四边形的性质得出P点横坐标，即可得出答案．
解答：解：（1）把A（3，4）代入y=x+m
得m=1，
∴y=x+1，
∴B（0，1），
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入得
，
解得
，
∴二次函数的解析式为：y=x2-2x+1；
（2）∵P点在直线y=x+1的图象上
∴P点坐标为（x，x+1），
∵E点在抛物线y=x2-2x+1的图象上，
∴E点坐标为（x，x2-2x+1），
∴h=（x+1）-（x2-2x+1）=-x2+3x；
（3）存在，
∵抛物线对称轴为直线x=-
=1，
∴当x=1时，y=x+1=2，
∴D点坐标为（1，2），
则DC=2，
当PE=2时，PE∥DC，四边形DCEP为平行四边形，
即-x2+3x=2，
解得：x1=1，x2=2，
当x=1时，PE与DC重合，
当x=2时，代入y=x+1，解得：y=3，
∴P点坐标为（2，3）．
得m=1，
∴y=x+1，
∴B（0，1），
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入得
|
解得
|
∴二次函数的解析式为：y=x2-2x+1；
（2）∵P点在直线y=x+1的图象上
∴P点坐标为（x，x+1），
∵E点在抛物线y=x2-2x+1的图象上，
∴E点坐标为（x，x2-2x+1），
∴h=（x+1）-（x2-2x+1）=-x2+3x；
（3）存在，
∵抛物线对称轴为直线x=-
| b |
| 2a |
∴当x=1时，y=x+1=2，
∴D点坐标为（1，2），
则DC=2，
当PE=2时，PE∥DC，四边形DCEP为平行四边形，
即-x2+3x=2，
解得：x1=1，x2=2，
当x=1时，PE与DC重合，
当x=2时，代入y=x+1，解得：y=3，
∴P点坐标为（2，3）．
点评：此题主要考查了二次函数的综合以及平行四边形的性质和待定系数法求二次函数解析式等知识，利用数形结合得出表示出PE的长是解题关键．
练习册系列答案
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