Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA=3，OB=5，点D为y轴上一点，其坐标为（0，1），点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段AC-CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．
（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；
（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；
②当点D关于OP的对称点落在x轴上时，求点P的坐标．
（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）设直线DP解析式为y=kx+b，将D与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；
（2）①当P在AC段时，三角形ODP底OD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边OD为固定值，表示出高，即可列出S与t的关系式；
②当D关于OP的对称点落在x轴上时，直线OP为y=x，求出此时P坐标即可；
（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．

解答：解：（1）设此时直线DP解析式为y=kx+b，
将D（0，1），C（3，5）代入得：

b=1 3k+b=5

，
解得：

k= 4 3 b=1

，
则此时直线DP解析式为y=

4

3

x+1；

（2）①当点P在线段AC上时，OD=1，高为3，S=

3

2

；
当点P在线段BC上时，OD=1，高为3+5-t=8-t，S=

1

2

×1×（8-t）=-

1

2

t+4；
②当点D关于OP的对称点落在x轴上时，D对称点为（1，0），此时直线OP为y=x，
则此时点P的坐标是（3，3）；

（3）存在，理由为：
若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：
①当BD=BP₁=OB-OD=5-1=4，
在Rt△BCP₁中，BD=4，BC=3，
根据勾股定理得：CP₁=

42-32

=

7

，
∴AP₁=5-

7

，即P₁（3，5-

7

）；
②当BP₂=DP₂时，此时P₂（3，3）；
③当DB=DP₃=4时，
在Rt△DEP₃中，DE=3，
根据勾股定理得：P₃E=

42-32

=

7

，
∴AP₃=AE+EP₃=

7

+1，即P₃（3，

7

+1），
综上，满足题意的P坐标为（3，3）或（3，

7

+1）或（3，5-

7

）．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．