Question

10．若两个二次函数图象的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相反，则称这两个二次函数为“对称二次函数”．
（1）请写出二次函数y=2（x-2）²+1的“对称二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y₁=x²-3x+1和y₂=ax²+bx+c，若y₁-y₂与y₁互为“对称二次函数”，求函数y₂的表达式，并求出当-3≤x≤3时，y₂的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据“对称二次函数”的定义即可求解；
（2）根据y₁-y₂与y₁互为“对称二次函数”，求出函数y₂的表达式，然后将函数y₂的表达式转化为顶点式，再利用二次函数的性质就可以解决问题．

解答 解：（1）二次函数y=2（x-2）²+1的“对称二次函数”是y=-2（x-2）²+1；

（2）∵y₁=x²-3x+1，y₂=ax²+bx+c，
∴y₁-y₂=（1-a）x²-（3+b）x+1-c=（1-a）•[x-$\frac{3+b}{2（1-a）}$]²+$\frac{（3+b）^{2}+4（1-c）（a-1）}{4（a-1）}$．
又y₁-y₂与y₁互为“对称二次函数”，y₁=x²-3x+1=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a=-1}\\{\frac{3+b}{2（1-a）}=\frac{3}{2}}\\{\frac{（3+b）^{2}+4（1-c）（a-1）}{4（a-1）}=-\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-6}\\{c=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴y₂=2x²-6x+$\frac{9}{2}$，
∴y₂=2（x-$\frac{3}{2}$）²，
∴y₂的对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$，
∵2＞0，且-3≤x≤3，
∴当x=-3时，y_2最大值=2×（-3）²-6×（-3）+$\frac{9}{2}$=$\frac{81}{2}$．

点评 本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间的相互转化，考查了二次函数的性质，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解是解题的关键．