Question

10．如图，以△ABC三边为底向外作等腰直角三角形，连接DE、BF．
求证：DE=BF，DE⊥BF．

Answer 1

分析 先构造正方形ADBP，连接DP，EP，通过判定△PBE∽△ABC，得出∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，$\frac{PE}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，进而根据SAS判定△ABF≌△PDE，即可得出BF=DE，∠ABF=∠PDE，再根据DP⊥AB，且AB、DE交于一点，可得DE⊥BF．

解答 解：将△ABD沿着AB翻折，得正方形ADBP，连接DP，EP，则DP=BA，DP⊥BA，
∵∠ABP=∠CBE=45°，
∴∠PBE=∠ABC，
又∵$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△PBE∽△ABC，
∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，$\frac{PE}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，
又∵AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC，
∴PE=AF，
∵∠DPE=∠DPB+∠BPE=45°+∠BPE，∠BAF=∠CAF+∠BAC=45°+∠BAC，
∴∠DPE=∠BAF，
在△ABF和△PDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=PD}\\{∠BAF=∠DPE}\\{AF=PE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△PDE（SAS），
∴BF=DE，∠ABF=∠PDE，
又∵DP⊥AB，且AB、DE交于一点，
∴DE⊥BF．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造正方形以及全等三角形、相似三角形，依据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解．