题目内容
1．
二次函数y=x2+（2m+1）x+m2的图象交x轴于A（x1，0）、B（x2，0），已知x1＜x2且x12+x1•x2+x22=21．（1）求m的值；
（2）设直线AM交抛物线于点M，若∠MAB为锐角，且△ABM的面积为6，求直线AM的解析式；
（3）对于（2）中的点M，若AP⊥AM交抛物线于另一点P，问在x轴上是否存在一点Q，使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABM相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．
分析 （1）由抛物线与x轴的交点坐标结合根与系数的关系可得出x1+x2=-2m-1、x1•x2=m2，结合x12+x1•x2+x22=21即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出m的值，再根据x1＜x2结合根的判别式可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围，由此即可确定m的值；
（2）将m=2代入二次函数解析式中令其y=0，即可求出点A、B的坐标，进而可得出AB的长处，根据三角形的面积公式结合△ABM的面积为6即可得出点M的纵坐标，将其代入二次函数解析式中求出x值，再根据∠MAB为锐角，即可确定点M的坐标，根据点A、M的坐标利用待定系数法即可求出直线AM的解析式；
（3）延长AP交y轴于点C，由A、M的坐标可得出∠MAO=45°，结合AP⊥AM即可得出点C的坐标，从而得出直线AC的解析式，联立直线AC与抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点P的坐标．假设存在符合题意的点Q，设点Q的坐标为（n，0），再分△APQ∽△AMB与△AQP∽△AMB两种情况考虑，根据相似三角形的性质即可找出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n值，从而得出点Q的坐标．
解答 解：（1）∵二次函数y=x2+（2m+1）x+m2的图象交x轴于A（x1，0）、B（x2，0），
∴x1+x2=-2m-1，x1•x2=m2，
∵x12+x1•x2+x22=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-x1•x2=3m2+4m+1=21，
∴m1=-$\frac{10}{3}$，m2=2．
∵x1＜x2，
∴△=（2m+1）2-4m2=4m+1＞0，
∴m＞-$\frac{1}{4}$．
∴m的值为2．
（2）∵m=2，
∴二次函数解析式为y=x2+5x+4，
当y=0时，有x2+5x+4=（x+1）（x+4）=0，
解得：x1=-4，x2=-1，
∴A（-4，0），B（-1，0），
∴AB=3．
∵S△ABM=$\frac{1}{2}$AB•|yM|=$\frac{1}{2}$×3×|yM|=6，
∴yM=±4．
当y=4时，x2+5x+4=4，
解得：x1=-5，x2=0，
此时点M（-5，4），（0，4）；
当y=-4时，x2+5x+4=-4，
△=52-4×8=-7＜0，
此时无解．
∵∠MAB为锐角，
∴M（0，4）．
设直线AM的解析式为y=kx+4，
将（-4，0）代入y=kx+4中，
得：0=-4k+4，解得：k=1，
∴直线AM的解析式为y=x+4．
（3）延长AP交y轴于点C，如图所示．
∵A（-4，0），M（0，4），
∴∠MAO=45°，
∵AP⊥AM，
∴∠CAO=45°，
∴C（0，-4），直线AC的解析式为y=-x-4．
联立直线AC与抛物线解析式成方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-4}\\{y={x}^{2}+5x+4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去），
∴P（-2，-2）．
∵A（-4，0），M（0，4），B（-1，0），
∴AM=4$\sqrt{2}$，AB=3，AP=2$\sqrt{2}$．
假设存在符合题意的点Q，设点Q的坐标为（n，0），则AQ=|n+4|．
∵∠PAQ=∠BAM=45°，
∴AQ=n+4，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABM相似分两种情况：
①当△APQ∽△AMB时，有$\frac{AP}{AM}=\frac{AQ}{AB}$，
即$\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{n+4}{3}$，解得：n=-$\frac{5}{2}$，
此时点Q的坐标为（-$\frac{5}{2}$，0）；
②当△AQP∽△AMB时，有$\frac{AQ}{AM}=\frac{AP}{AB}$，
即$\frac{n+4}{4\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，解得：n=$\frac{4}{3}$，
此时点Q的坐标为（$\frac{4}{3}$，0）．
综上可知：在x轴上存在一点Q，使得以A、P、Q为顶点的三角形与△ABM相似，点Q的坐标（-$\frac{5}{2}$，0）或（$\frac{4}{3}$，0）．
点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、根与系数的关系、根的判别式以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用根与系数的关系找出关于m的一元二次方程；（2）求出点M的坐标；（3）分两种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出边与边之间的关系是关键．
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如图，如果一个直角三角形的内接正方形的面积恰好是三角形面积的0.48倍，则该直角三角形的两条直角边的比为（ ）| A． | 1：2 | B． | 2：3 | C． | 3：4 | D． | 4：5 |
| A． | -8 | B． | -6 | C． | -4 | D． | -2 |
（1）根据图，完成表格：
| 中位数（分） | 众数（分） | 极差（分） | 平均数（分） | |
| 八年级（1）班 | 75 | 75 | 25 | 75 |
| 八年级（2）班 | 75 | 90 | 30 | 75 |
（3）如图要在两个队中选择一队参加学校的比赛，你认为选择哪个队较好，为什么？
如图所示，几何体是由一个长方体与一个正方体组成，用整式表示这个几何体的体积，并指出它的次数．
如图，在△ABC中，点D在BC上，BD=10，DC=8，∠DAC=∠B，E是AB上一点，且DE∥AC，求AC和DE的长．