Question

12．已知：如图，△CBE是一个锐角三角形，分别以CB，CE为边向外侧作等边三角形ABC和等边三角形CDE，连接AE、BD．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若点P是边BE上的一个动点（不与两端点B、E重合），过点P作PM∥AE交AB于M，PN∥BD交DE于N．
①当点P是BE的中点时，求证：PM+PN=AE；
②当点P是BE上任意一点时，请问PM、PN、AE是否还有①中的结论，若有请说明理由；若没有则这三条线段有怎样的数量关系并说明理由？

Answer 1

分析 （1）由△ABC和△CDE是等边三角形，得到AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，证得∠ACE=∠BCD，即可证得△ACE≌△BCD；
（2）①由点P是BE的中点，得到PB=PE=$\frac{1}{2}$BE，根据三角形的中位线的性质即可得到结果；②根据P作PM∥AE交AB于M，PN∥BD交DE于N．证得△BPM∽△BEA，△EPN∽△EBD得到$\frac{BP}{BE}=\frac{PM}{AE}$，$\frac{PE}{BE}=\frac{PN}{BD}$，由于AE=BD，于是得到$\frac{BP+PE}{BE}=\frac{PM+PN}{AE}$，于是结论可得．

解答 （1）证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACE=60°+∠BCE，∠BCD=60°+∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE与△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD；

（2）解：①∵点P是BE的中点，
∴PB=PE=$\frac{1}{2}$BE，
∵PM∥AE交AB于M，PN∥BD交DE于N．
∴PM=$\frac{1}{2}$AE，PN=$\frac{1}{2}$BD，
∵△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，
∴PM=PN=$\frac{1}{2}$AE，
∴PM+PN=AE；
②PM+PN=AE；
∵P作PM∥AE交AB于M，PN∥BD交DE于N．
∴△BPM∽△BEA，△EPN∽△EBD，
∴$\frac{BP}{BE}=\frac{PM}{AE}$，$\frac{PE}{BE}=\frac{PN}{BD}$，
∴$\frac{BP}{BE}+\frac{PE}{BE}=\frac{PM}{AE}+\frac{PN}{BD}$，
∵AE=BD，
∴$\frac{BP+PE}{BE}=\frac{PM+PN}{AE}$，
∴$\frac{PM+PN}{AE}$=1，
∴PM+PN=AE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．