Question

20．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象过点A（-1，0）和点C（0，3），对称轴为直线x=1．
（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；
（2）结合图象，解答下列问题：
①当-1＜x＜2时，求函数y的取值范围．
②当y＜3时，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把A点和C点坐标代入y=ax²+bx+c得到两个方程，再加上对称轴方程即可得到三元方程组，然后解方程组求出a、b、c即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式即可得到顶点坐标；
（2）①先分别计算出x为-1和2时的函数值，然后根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围；
②先计算出函数值为3所对应的自变量的值，然后根据二次函数的性质写出y＜3时，x的取值范围．

解答 解：（1）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=3}\\{-\frac{b}{2a}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以二次函数关系式为y=-x²+2x+3，
因为y=-（x-1）²+4，
所以抛物线的顶点坐标为（1，4）；
（2）①当x=-1时，y=0；x=2时，y=3； 
而抛物线的顶点坐标为（1，4），且开口向下，
所以当-1＜x＜2时，0＜y≤4；
②当y=3时，-x²+2x+3=3，解得x=0或2，
所以当y＜3时，x＜0或x＞2．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．