Question

16．如图，已知抛物线y₁=-2x²+2，直线y₂=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁、y₂．若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的较小值记为M；若y₁=y2，记M=y₁=y₂．例如：当x=1时，y₁=0，y₂=4，y₁＜y₂，此时M=0．下列判断：
①当x＞0时，y₁＞y₂；②当x＜0时，x值越大，M值越小； ③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是-$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
其中正确的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 观察图象，当x＞0，一次函数图象在二次函数图象的上方，则可对①进行判断；利用一次函数和二次函数的增减性可对②进行判断；利用二次函数的最值和M的意义可对③进行判断；分别解-2x²+2=1和2x+2=1，再计算出对应的M的值，从而可对④进行判断．

解答 解：当x＞0时，y₁＜y₂，所以①错误；
当x＜0时，y₁、y₂都随x的增大而增大，则x值越大，M值越大，所以②错误；
因为抛物线y₁=-2x²+2有最大值为2，所以y₁、y₂中的较小值M不可能大于2，所以③正确；
若-2x²+2=1，解得x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，M=1；若2x+2=1，解得x=-$\frac{1}{2}$，此时M=1，所以④正确．
故选B．

点评 本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．或利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．