Question

6．如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．

（1）求证：AE=BG
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°）如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立？如果仍成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若BC=DE=4，当旋转角α为多少度时，AE取得最大值？直接写出AE取得最大值时α的度数，并利用备用图画出这时的正方形DEFG，最后求出这时AF的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△BDG与Rt△EDA；根据边角边定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；
（2）连接AD，根据直角三角形与正方形的性质可得Rt△BDG≌Rt△EDA；进而可得BG=AE；
（3）根据（2）的结论，求BG的最大值，分析可得此时F的位置，由勾股定理可得答案．

解答 （1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，AD=DC=DB，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=DG，
∴△ADE≌△BDG（SAS），
∴BG=AE；

（2）成立；
理由如下：如图2，连接AD，
由（1）知AD=BD，AD⊥BC．
∴∠ADG+∠GDB=90°．
∵四边形EFGD为正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°．
∴∠ADG+∠ADE=90°
∴∠BDG=∠ADE．     
在△BDG和△ADE中，
∵BD=AD，∠BDG=∠ADE，GD=ED，
∴△BDG≌△ADE（SAS）
∴AE=BG；

（3）α=270°；
正方形DEFG如图3所示
由（2）知BG=AE
∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．
∵BC=DE=4，
∴EF=4，
∴BG=2+4=6
∴AE=6    
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
AF=$\sqrt{A{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{36+16}$=2$\sqrt{13}$．

点评 解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．