Question

7．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P在边AD上以1cm/s的速度从点A向点D移动，（不与A、D重合），AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F（如图1 ），
（1）求证：FC=AE+EF；
（2）过点P作PM∥FC交CD于点M（如图2 ），存在时刻t，使DM=2cm吗？若存在，求出时刻t；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，何时线段DM最长，并求出此时DM的值．

Answer 1

分析 （1）根据垂直定义得出∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，结合∠ABE=∠BCF，证明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE²+CF²=BF²+CF²=BC²；
（2）证明△PDM∽△BAP，得出对应边成比例，得出方程，即可得出答案；
（3）设AP=t，则PD=4-t，由△PDM∽△BAP，得出关于t的二次函数，即可求出DM的最大值．

解答 （1）证明：∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAP=∠D=∠ABC=90°，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠BFC}&{\;}\\{∠ABE=∠BCF}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，BE=FC，
∵BE=BF+EF，
∴FC=AE+EF；
（2）解，不存在时刻t，使DM=2cm，理由如下：
∵PM∥FC，FC⊥BP，
∴∠BPM=90°，
∴∠APB+∠DPM=90°，
又∵∠ABP+∠APB=90°，
∴∠ABP=∠DPM，
∵∠BAP=∠D=90°，
∴△ABP∽△DPM，
∴$\frac{PA}{DM}=\frac{AB}{PD}$，即$\frac{t}{2}=\frac{4}{4-t}$，
整理得：t²-4t+8=0，
∵△=（-4）²-4×1×8=-16＜0，
∴此方程无解，
∴不存在时刻t，使DM=2cm．

（3）解：设AP=t，则PD=4-t，
由（2）得：△PDM∽△BAP，
∴$\frac{PA}{DM}=\frac{AB}{PD}$，
即$\frac{4-t}{DM}=\frac{4}{t}$，
∴DM═-$\frac{1}{4}$t²+t=-$\frac{1}{4}$（t-2）²+1，
∴当t=2时，即点P是AD的中点时，DM有最大值为1．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值等知识；此题有一定的难度，是一道不错的中考试题．