Question

直线y=kx+4（k≠0）与y=-2x+1交于点B，若S_△ABC=

3

2

．
（1）求△ABC的周长．
（2）若点P在直线AE上，△PAC是等腰直角三角形，求P点坐标．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题

专题：计算题

分析：（1）先利用y轴上点的坐标特征求出直线y=kx+4（k≠0）与y轴的交点A的坐标为（0，4），直线y=-2x+1与y轴的交点C的坐标为（0，1），则AC=4-1=3，再根据三角形面积公式得到

1

2

AC•|x_B|=

3

2

，解方程得到B的横坐标为-1，利用y=-2x+1可确定B（-1，3），然后利用两点间的距离公式计算出AB=

2

，BC=

5

，再求△ABC的周长；
（2）先把B（-1，3）的坐标代入y=kx+4求出k得到直线AE的解析式为y=x+4，则E（-4，0），可判断△AOE为等腰直角三角形，所以∠EAC=45°，作过C作CP₁⊥AC交AE于P₁，如图，则△ACP₁为等腰直角三角形，利用点P₁的纵坐标为1，点P₁在直线y=x+4上可确定P₁（-3，1）；作过C作CP₂⊥AE于P₂，如图，则△ACP₂为等腰直角三角形，点P₂为AP₁的中点，利用线段中点坐标公式易得P₂（-

3

2

，

5

2

）．

解答：解：（1）∵直线y=kx+4（k≠0）与y轴的交点A（0，4），直线y=-2x+1与y轴的交点C（0，1），
∴AC=4-1=3，
∵S_△ABC=

1

2

AC•|x_B|=

3

2

，
∴|x_B|=1，
∴B的横坐标为-1，
把x=-1代入y=-2x+1得y=-2×（-1）+1=3，
∴B（-1，3），
∴AB=

(0+1)2+(4-3)2

=

2

，BC=

(0+1)2+(1-3)2

=

5

，
∴△ABC的周长为3+

2

+

5

；
（2）把B（-1，3）的坐标代入y=kx+4得，3=-k+4，解得，k=1，
∴直线AE的解析式为y=x+4，
当y=0时，x+4=0，解得x=-4，则E（-4，0），
∴OA=OE，
∴△AOE为等腰直角三角形，
∴∠EAC=45°，
作过C作CP₁⊥AC交AE于P₁，如图，则△ACP₁为等腰直角三角形，点P₁的纵坐标为1，
把y=1代入y=x+4得x+4=1，解得x=-3，
∴P₁（-3，1），
作过C作CP₂⊥AE于P₂，如图，则△ACP₂为等腰直角三角形，点P₂为AP₁的中点，
∴P₂（-

3

2

，

5

2

）．
综合所述，P点坐标为（-3，1）、（-

3

2

，

5

2

）．

点评：本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．