Question

3．已知：四边形OABC是菱形，以O为圆心作⊙O，与BC相切于点D，交OA于E，交OC于F，连接OD，DF．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接EF交OD于点G，若∠C=45°，求证：GF²=DG•OE．

Answer 1

分析 （1）过O作OH⊥AB，由菱形的性质可求得OH=OD，由切线的性质可知OD为圆O的半径，可得OH为圆O的半径，可证得结论；
（2）由条件可证明△DGF∽△DFO，再利用相似三角形的性质可证得结论．

解答 证明：
（1）如图，过O作OH⊥AB，

∵四边形OABC为菱形，
∴AB=BC，
∵BC为⊙O的切线，
∴OD⊥BC，且OD为⊙O的半径，
∴AB•OH=BC•OD，
∴OH=OD，
∴AB为⊙O的切线；
（2）由（1）可知OD⊥CB，
∴AO⊥DO，
∴∠AOD=90°，
∴∠DFO=$\frac{1}{2}$∠AOD=45°，
∵∠C=45°，且∠ODC=90°，
∴∠DOF=45°，
在△OGF中，∠DGF为△OGF的外角，
∴∠DGF=∠DOF+∠GFO=45°+∠GFO，
∵∠DFO=∠DFG+∠GFO=45°+∠GFO，
∴∠DGF=∠DFO，且∠GDF=∠FDO，
∴△DGF∽△DFO，
∴$\frac{DG}{DF}$=$\frac{GF}{OF}$，即DF•GF=DG•OF，
∵OF=OD=OE，
∴DF=GF，
∴GF²=DG•OE．

点评 本题主要考查切线的判定和性质及相似三角形的判定，掌握切线的判定方法和相似三角形的判定方法是解题的关键，注意等积法的应用．