Question

13．如图，过点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别为B，C，直径BD的延长线与直线AC交于E，连接DC、OA．
（1）求证：DC∥OA；
（2）若⊙O的半径为R．
①求DC•OA的值；
②当DC=R时，求sinE的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC、BC，如图，先利用线段垂直平分线定理的逆定理得到OA垂直平分BC，再利用圆周角定理得到CD⊥BC，于是可判断CD∥OA；
（2）①证明Rt△AOB∽Rt△BDC，通过相似比可求出DC•OA的值；
②先判断△OCD为等边三角形得到∠COD=60°，再利用切线的性质得∠OCE=90°，则∠E=30°，然后利用特殊角的三角函数值值求解．

解答 （1）证明：连接OC、BC，如图，
∵AB、AC为⊙O的切线，
∴AB=AC，
而OB=OC，
∴OA垂直平分BC，
∵OB为直径，
∴∠BCD=90°，
∴CD⊥BC，
∴CD∥OA；
（2）解：①∵CD∥OA，
∴∠AOB=∠CDB，
∴Rt△AOB∽Rt△BDC，
∴$\frac{OA}{BD}$=$\frac{OB}{CD}$，
∴DC•OA=OB•BD=R•2R=2R²；
②∵DC=R，
∴DC=OC=OD，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠COD=60°，
∵AE为切线，
∴OC⊥AE，
∴∠OCE=90°，
∴∠E=30°，
∴sinE=sin30°=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决①小题的关键是证明△AOB∽Rt△BDC．