Question

20．已知，直线l：y=kx+b（k≠0）与双曲线y=-$\frac{4}{x}$交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，其中x₁≠x₂．
（1）若k=$\frac{1}{2}$，x₁=-4，求直线l的解析式及A、B两点的坐标；
（2）若直线l交x轴于C（x₀，0），求证：x₁+x₂=x₀；
（3）若直线a过点D（-2，-2），且与直线y=-$\frac{4}{|x|}$的图象恰好有两个交点，请直接写出直线a的解析式为y=-2．

Answer 1

分析 （1）解方程组得到b=3，太深求得l的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+3，根据方程x²+2bx+8=0得x₁x₂=8，x₂=-2，于是得到结论；
（2）根据直线l与x轴交于C（x₀，0），当得到x₀=-$\frac{b}{k}$，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=-\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，得到kx²+bx+4=0，于是得到结论；
（3）根据y=-$\frac{4}{|x|}$的图象过点D（-2，-2）根据直线a与函数y=-$\frac{4}{|x|}$的图象恰好有两个交点，于是得到结论．

解答 解：（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{y=-\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
∴x²+2bx+8=0，
把x₁=-4代入方程得：b=3，
∴l的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+3，由
方程x²+2bx+8=0得x₁x₂=8，x₂=-2，
∴A（-4，1），B（-2，2）；

（2）直线l：y=kx+b（k≠0）x轴于C（x₀，0），
∴x₀=-$\frac{b}{k}$，$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=-\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
∴kx²+bx+4=0，x₁+x₂=-$\frac{b}{k}$，
∴x₁+x₂=x₀；

（3）y=-$\frac{4}{|x|}$的图象为，
∵过点D（-2，-2）的直线a与函数y=-$\frac{4}{|x|}$的图象恰好有两个交点，
如图过直线a的解析式为y=-2，
故答案为：y=-2．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，画出图象是解题的关键．