Question

5．已知直线l：y=-x+5与双曲线y=$\frac{k}{x}$的图象交于A，B两点，且AB=3$\sqrt{2}$．
（1）求双曲线的解析式；
（2）将直线l平移得y=-x+b，当平移后的直线与双曲线没有公共点时，直接写出b的取值范围．
（3）直线x=t（t＞0）交双曲线于M，交线段AB于N，求△OMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）化简方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，得到x²-5x+k=0，于是得到x_A+x_B=5，x_A•x_B=k，根据AB的长度列方程即可得到结论；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据题意设M（t，$\frac{11}{2t}$），N（t，-t+5），根据二次函数的性质即可得到结论；

解答 解：（1）解$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，
∴k=-x²+5x，
∴x²-5x+k=0，
∴x_A+x_B=5，x_A•x_B=k，（x_B-x_A）²=（x_B+x_A）²-4x_Ax_B=25-4k，
AB²=（x_A-x_B）²+（y_A-y_B）²=（x_A-x_B）²+（5-x_A+x_B-5）²=2（x_B-x_A）²=2（25-4k）=（3$\sqrt{2}$）²=18，
∴k=4，
∴y=$\frac{4}{x}$；

（2）由题意得直线l向下平移，-x+b=$\frac{4}{x}$，化简为：-x²+bx-4=0，
∵平移后的直线与双曲线没有公共点，
∴△=b²-4×4＜0，
∴|b|＜4；

（3）∵直线x=t（t＞0）交双曲线于M，交线段AB于N，
∴MN∥y轴，
设M（t，$\frac{4}{t}$），N（t，-t+5），
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}$×（-t+5-$\frac{4}{t}$）•t=-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{9}{8}$，
∴△OMN面积的最大值是$\frac{8}{9}$．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确的理解题意是解题的关键．