Question

10．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是一个面积为48的直角梯形，∠C=90°，∠DAO=45°，AB∥CD，点B（10，0）直线l经过点A，D两点，且动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒4个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．
（1）点A的坐标为（-4，0）；直线l的解析式为y=x+4；
（2）试求点Q与点M的相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形，请直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）利用△AOD是等腰直角三角形，四边形ABCD是一个面积为48的直角梯形以及点B的坐标，求出OA=OD=4，即可确定点A的坐标为（-4，0），点D的坐标为（0，4），然后利用待定系数法可求出直线l的解析式；
（2）当点Q与点M的相遇时，可得2t-4=10-（4t-4），可求得t=3，然后分三种情况：0＜t≤1，1＜t≤2，2＜t＜3，分别利用图形的性质，三角形的面积公式进行分析解答即可；
（3）在△QMN中，∠QMN=90°，因此当MN=MQ时△QMN为等腰三角形．当2＜t＜3时，MQ=18-6t，OP=MN=DM=2t，进而由MN=MQ得到2t=18-6t，求出t的值；当3＜t＜3.5时，由于MN=DM＞MQ，可知此种情况不成立．

解答 解：（1）（-4，0）；y=x+4；
（2）根据题意，当点Q与点M的相遇时，可得2t-4=10-（4t-4），
解得t=3，即当t=3时，点Q与点M相遇．
分三种情况：
①当0＜t≤1时，如题图，
此时AP=MP=2t，BP=AB-AP=14-2t，
∴S=$\frac{1}{2}$MP•BP=$\frac{1}{2}$•2t•（14-2t）=-2t²+14t；
②当1＜t≤2时，如图1，
此时AP=MP=2t，CQ=4t-4，DQ=CD-CQ=10-（4t-4）=14-4t，
△MPQ的MP边上的高h为：h=AB-AP-CQ=14-2t-（4t-4）=18-6t，
∴S=$\frac{1}{2}$MP•h=$\frac{1}{2}$•2t（18-6t）=-6t²+18t；
③当2＜t＜3时，如图2，
此时MP=4，OP=DM=2t-4，CQ=4t-4，MQ=CD-DM-CQ=10-（2t-4）-（4t-4）=18-6t，
∴S=$\frac{1}{2}$MP•MQ=$\frac{1}{2}$×4•（18-6t）=-12t+36；

（3）在△QMN中，∠QMN=90°，因此当MN=MQ时△QMN为等腰三角形．
当2＜t＜3时，如图3，MQ=18-6t，OP=MN=DM=2t，
由MN=MQ可得2t=18-6t，
解得t=$\frac{11}{4}$；
当3＜t＜3.5时，如图4，
由于MN=DM＞MQ，可知此种情况不成立．
所以t=$\frac{11}{4}$．

点评 本题考查了一次函数的综合应用，坐标与图形性质，直角梯形等知识，具有一定的综合性，解答本题时注意分类讨论思想、数形结合思想、方程思想的运用．