Question

7．已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为t（s）（0＜t＜4）．连接PQ、MQ、MC．

（1）当t为何值时，PQ∥AB？
（2）当t=3时，求△QMC的面积；
（3）是否存在t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求出AC，根据PQ∥AB，得出关于t的比例式，求解即可；
（2）过点P作PD⊥BC于D，根据△CPD∽△CBA，列出关于t的比例式，表示出PD的长，再根据S_△QMC=$\frac{1}{2}$QC•PD，进行计算即可；
（3）过点M作ME⊥BC的延长线于点E，根据△CPD∽△CBA，得出PD=$\frac{3}{5}$（4-t），CD=$\frac{4}{5}$（4-t），再根据△PDQ∽△QEM，得到 $\frac{PD}{QE}$=$\frac{DQ}{EM}$，即PD•EM=QE•DQ，进而得到方程（$\frac{12}{5}$-$\frac{3}{5}$t）²=（$\frac{16}{5}$-$\frac{9}{5}$t）（$\frac{9}{5}$+$\frac{9}{5}$t），求得t=$\frac{3}{2}$或t=0（舍去），即可得出当t=$\frac{3}{2}$时，PQ⊥MQ．

解答 解：（1）如图所示，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，
∴Rt△ABC中，AC=4，
若PQ∥AB，则有$\frac{CP}{PA}$=$\frac{CQ}{QB}$，
∵CQ=PA=t，CP=4-t，QB=5-t，
∴$\frac{4-t}{t}$=$\frac{t}{5-t}$，
即20-9t+t²=t²，
解得t=$\frac{20}{9}$，
当t=$\frac{20}{9}$时，PQ∥AB；  

（2）如图所示，过点P作PD⊥BC于点D，
∴∠PDC=∠A=90°，
∵∠PCD=∠BCA
∴△CPD∽△CBA，
∴$\frac{CP}{CB}$=$\frac{PD}{BA}$，
当t=3时，CP=4-3=1，
∵BA=3，BC=5，
∴$\frac{1}{5}$=$\frac{PD}{3}$，
∴PD=$\frac{3}{5}$，
又∵CQ=3，PM∥BC，
∴S_△QMC=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{10}$；
   
（3）存在时刻t=$\frac{3}{2}$，使PQ⊥MQ，
理由如下：如图所示，过点M作ME⊥BC的延长线于点E，
∵△CPD∽△CBA，
∴$\frac{CP}{CB}$=$\frac{PD}{BA}$=$\frac{CD}{CA}$，
∵BA=3，CP=4-t，BC=5，CA=4，
∴$\frac{4-t}{5}$=$\frac{PD}{3}$=$\frac{CD}{4}$，
∴PD=$\frac{3}{5}$（4-t），CD=$\frac{4}{5}$（4-t）．
∵PQ⊥MQ，
∴∠PDQ=∠QEM=90°，∠PQD=∠QME，
∴△PDQ∽△QEM，
∴$\frac{PD}{QE}$=$\frac{DQ}{EM}$，即PD•EM=QE•DQ．
∵EM=PD=$\frac{3}{5}$（4-t）=$\frac{12}{5}$-$\frac{3}{5}$t，
DQ=CD-CQ=$\frac{4}{5}$（4-t）-t=$\frac{16}{5}$-$\frac{9}{5}$t，
QE=DE-DQ=5-[$\frac{4}{5}$（4-t）-t]=$\frac{9}{5}$+$\frac{9}{5}$t，
∴（$\frac{12}{5}$-$\frac{3}{5}$t）²=（$\frac{16}{5}$-$\frac{9}{5}$t）（$\frac{9}{5}$+$\frac{9}{5}$t），
即2t²-3t=0，
∴t=$\frac{3}{2}$或t=0（舍去），
∴当t=$\frac{3}{2}$时，PQ⊥MQ．

点评 此题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积计算的综合应用，解决问题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造相似三角形．