Question

2．如图，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1，下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c=0；③4ac-b²＜2a；④2b=3a．
其中正确的结论是（　　）

• A． ①③
• B． ②④
• C． ①④
• D． ②③

Answer 1

分析 ①由抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，与y轴的交点B的范围，即可得出a＞0、b＜0、c＜0，进而可得出abc＞0，结论①错误；②由抛物线的对称轴以及与x轴的一个交点坐标，可得出另一交点坐标为（3，0），进而可得出9a+3b+c=0，结论②正确；③由点B的范围可得出抛物线顶点纵坐标$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＜-1，结合a＞0可得出4ac-b²＜-4a＜2a，结论③正确；④由抛物线对称轴为x=1可得出b=-2a，结论④错误．综上即可得出结论．

解答 解：①∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），
∴a＞0，-$\frac{b}{2a}$=1，c＜0，
∴b=-2a＜0，
∴abc＞0，结论①错误；
②∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1，
∴二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴9a+3b+c=0，结论②正确；
③∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间（不包括这两点），
∴抛物线顶点纵坐标$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＜-1，
∵a＞0，
∴4ac-b²＜-4a＜2a，结论③正确；
④∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，b=-2a，结论④错误．
综上所述，正确的结论有：②③．
故选D．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．