题目内容
17．在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC（或它们的延长线）于点M，N．
（1）观察图1，直接写出∠AEM与∠BNE的关系是∠AEM+∠BNE=90°；（不用证明）
（2）如图1，当M、N都分别在AB、BC上时，可探究出BN与AM的关系为：BN⊥AM，BN-AM=2；（不用证明）
（3）如图2，当M、N都分别在AB、BC的延长线上时，（2）中BN与AM的关系式是否仍然成立？若成立，请说明理由：若不成立，写出你认为成立的结论，并说明理由．
分析 （1）由矩形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质定理可得∠DEN=∠BNE，由∠MEN=90°，易得∠AEM+∠DEN=90°，可得∠AEM+∠BNE=90°；
（2）由矩形的性质可得BN⊥AM，过E作EF⊥BC于F，由E是AD的中点可得，AD=2AB=4，易得AE=EF，易得Rt△AEM≌Rt△FEN，由全等三角形的性质可得AM=FN，易得BN-AM=BN-FN=BF=2；
（3）同（2）可证得结论．
解答 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEN=∠BNE，
∵∠MEN=90°，
∴∠AEM+∠DEN=90°，
∴∠AEM+∠BNE=90°，
故答案为：∠AEM+∠BNE=90°；
（2）BN⊥AM，BN-AM=2；
证明：如图1，∵四边形ABCD为矩形，
∴BN⊥AM，
过E作EF⊥BC于F，
∵矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点
∴AE=EF=AB=BF=2，
∵∠AEM+∠MEF=90°，∠NEF+∠MEF=90°，
∴∠AEM=∠NEF，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠NEF}\\{AE=EF}\\{∠A=∠EFN}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEM≌Rt△FEN，
∴AM=FN，
∴BN-AM=BN-FN=BF=2；
故答案为：BN⊥AM，BN-AM=2；
（3）当M、N都分别在AB、BC的延长线上时，（2）中BN与AM的关系式仍然成立．
证明：如图2，∵四边形ABCD为矩形，
∴BN⊥AM，
过E作EF⊥BC于F
∵矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，
∴AE=EF=AB=BF=2，
∵∠AEM+∠MEF=90°，∠NEF+∠MEF=90°，
∴∠AEM=∠FEN，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠NEF}\\{AE=EF}\\{∠A=∠EFN}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEM≌Rt△FEN，
∴AM=FN，
∴BN-AM=BN-FN=BF=2．
点评 本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，作出恰当的辅助线构建全等三角形是解答此题的关键．
口算题卡加应用题集训系列答案
综合自测系列答案
如图，将矩形ABCD沿线段AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果精确到0.1米，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）．
如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为120米，且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．（结果保留整数，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）